Как узнать о рейтинге сайта в поисковых системах по определенному запросу?

Думаю, что я правильно понял вопрос. Попробую дать ответ.

Поисковые машины - это вычислительный комплекс, который оперирует цифрами. Поэтому, для правильной расстановки сайтов по рейтингу используются какие-то цифровые значения.

В поисковике "Яндекс" есть так называемый тИЦ - тематический индекс цитирования. Чем выше значение тИЦ - тем выше популярность ресурса. Как говорит сам Яндекс, тИЦ рассчитывается по специальному алгоритму и используется для определения в рубриках каталога поисковой машины Яндекса. тИЦ в Яндексе определяется (вычисляется) для всего сайта целиком.

Подробнее об этом можно почитать на самом Яндексе.

А узнать тИЦ можно на различного рода ресурсах, например, тут или найти сайт в каталоге Яндекса и посмотреть. Вот скриншот

Красным подчеркнуто значение тИЦ.

В поисковике google.com иная система. У этой поисковой системы существует понятие PageRank или сокращенно PR (не путать с PR - Public Relations, это несколько другая опера) - алгоритм сортировки популярности страниц. Таким образом PR может быть разным для различных страниц сайта (в отличие от Яндекса). Думается мне, что алгоритм расчета PR держится в секрете. Но некоторые подробности расчета можно почитать тут. Там же указываются ссылки на ресурсы, где можно узнать значение PR для конкретного сайта.

Об алгоритмах остальных поисковых системах я не знаю. Поэтому говорить о них не буду.