Как правильно заварный или заварной?

В русском языке есть прилагательное заварной. Ударение в данном слове падает на последний, то есть на третий слог: заварнОй. Это и будет единственно верным вариантом произношения.

Заварной означает "требующий заваривания для своего изготовления" — так говорят о каком-либо пищевом продукте. Примеры: заварное тесто, заварной хлеб, заварной крем для эклера и так далее. Ещё одно, менее распространённое значение этого слова, — "предназначенный для заваривания" (так говорят обычно о какой-нибудь ёмкости). Скажем, заварной чайник, заварной чан или же заварной котёл.

Вариант произношения завАрный будет неправильным. Такого слова в русском языке просто не существует.