Как правильно, заглянем во внутрь или заглянем внутрь?

Правильно "заглянем внутрь коробки". Слово "внутрь" - это наречие, и обозначает обстоятельство направления действия. А заглянуть в ("во" эквивалентно "в") обстоятельство невозможно. Можно заглянуть "в коробку", можно заглянуть "во внутренность коробки" (хоть и коряво, но всё же допустимо), но невозможно заглянуть "во внутрь". Думаю следует упомянуть ещё вариант неправильного произношения (и написания) наречия, когда вместо "внутрь" говорят "вовнутрь". Например, на дверях многих автобусов "Икарус", поставлявшихся из Венгрии, было написано "Осторожно, вовнутрь открывается". Но то, что допустимо для венгров, недопустимо для русских, и в нормальном русском языке нет слова "вовнутрь".

Во внутрь. Одеть -на себя, Надеть-на кого-либо.

Мы заглянем во внутрь картонной коробки.