Как правильно пишется: завести Куриц, завести Курей или завести Кур?

Дело в том, что в русском языке есть имя существительное женского рода единственного числа КУРИЦА, которое имеет множественное число - КУРЫ. Это считается нормой современного русского языка.

Множественное число (КУРИЦЫ) тоже употребляется в речи, но такое употребление слова считается просторечным и областным.

Раньше существовало слово КУР, которое буквально означало петух. Сейчас оно сохранилось только в поговорке попал как кур во щи.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что правильно говорить только так: завести кур, а также "покупать кур, выращивать кур, кормить кур".