Как правильно пишется слово «бечёвка» или «бечовка»?

В существительном БЕЧЁВКА корень слова БЕЧЁВ- (образовано от существительного БЕЧЕВА при помощи суффикса к).

Но главное в том, что гласная Ё входит в состав корня слова, стоит после шипящей согласной и находится в ударном положении. Под ударением произносится гласная О, а пишется Ё. И пишется именно так в соответствии с правилом русского языка, которое гласит: если при изменении слова или подборе однокоренных слов происходит чередование гласных Ё-Е, то в корне слова после шипящих под ударением пишется Ё.

Вот ещё примеры на это правило: чёрный-чернеть, расчёсываться-чесать, шёрстка-шерсть, щёлочка-щель и т.п..