Как правильно пишется позволение или позволенье?

Правильно и так, и так. Но первый вариант предпочтительнее и встречается чаще.

«Позволение» — это нейтральный, общеупотребительный вариант написания данного слова. Он может употребляться в любом стиле речи: в официальных стилях (официально-деловом, публицистическом, научном), в художественном и в разговорном. Словари русского языка дают в качестве нормативного именно написание «позволение». Это подтверждает и Орфографический словарь, и Большой Толковый словарь, а также Словарь синонимов. Вот ссылка.

Но и написание «позволенье» также не будет ошибкой. Но этот вариант можно употребить только в разговорном стиле речи, а также в художественном стиле в определённых случаях. Например, в таких: для характеристики речи говорящего (просторечие, диалектизмы, устаревшее произношение и так далее); в старых текстах, для того чтобы сохранить орфографию оригинала; в поэзии для достижения нужного ритма в стихотворении, поэме или другом рифмованном литературном произведении. Что касается официального стиля, то при его использовании (например, при составлении документов) писать «позволенье» нельзя. Здесь верным будет исключительно «позволение». Но можно заменить это слово одним из его синонимов: «дозволение» или же «разрешение».