Как правильно пишется » по заявлению» или по заявление»?

Конечно же, правильно говорить и писать: по заявлению.

Предлог по может употребляться с одним из трёх падежей: дательным, винительным или предложным. Но в данном случае винительный и предложный падежи неуместны. Поэтому здесь сгодится только дательный падеж существительного "заявление", то есть "по заявлению" (можно поставить вопрос: по чему?). Пример предложения, в котором можно употребить приведённую фразу: "По заявлению истца было возбуждено уголовное дело против ответчика".