Как правильно пишется «неравнодушный» или «не равнодушный»?

"(Не) равнодушный" - это прилагательное. Оно употребляется без НЕ, значит, может писаться и слитно, и раздельно. Раздельно оно будет писаться, если к нему будут относиться слова: совсем (не всегда оно дает раздельное написание), вовсе, отнюдь, никак и некоторые др. Например: Этот вовсе не равнодушный прием привел нас в недоумение. "НЕ" пишется отдельно, если к слову относится противопоставление с союзом А. Например: Его взгляд был не равнодушный, а заинтересованный. Если в предложении нет противопоставления с союзом А, нет вышеперечисленных слов, и к слову можно подобрать синоним без НЕ, то напишем слитно. Его неравнодушное отношение слегка смутило девушку. Слова : очень, слишком, чересчур, весьма - не влияют на написание слова "неравнодушный".

Неравнодушный - это слово может быть антонимом прилагательного "равнодушный". Конечно, в таких случаях не всегда пишется слитно. Его неравнодушный взгляд вывел её из оцепенения. В тех же случаях, когда есть противопоставления не может писаться и раздельно. Он не равнодушный, а какой-то замороженный, зашваркованный.

Написание возможно, как раздельно, так и слитно.

"Неравнодушный" пишется слитно, если в предложении нет противопоставления с союзом или спец. слов "отнюдь не" или "далеко не".

Примеры: Неравнодушный человек (нет противопоставления), далеко не равнодушный человек (есть слово "далеко не").

Слово "неравнодушный" пишется слитно. С полными и краткими прилагательными и с наречиями на -о (-е), если сочетание их с не служит не для отрицания какого-либо понятия, а для выражения нового, противоположного понятия пишется слитно.