Как правильно пишется «кверх ногами», «кверху ногами» или «к верху ногами»?

Возможны все три варианта.

"Кверху ногами", по данным фразеологических словарей, означает "находиться в беспорядке, в перевернутом положении". "Кверху" здесь - наречие, образованное от предложно-падежной формы существительного "верх".

В словосочетании "к верху ногами" "к верху" - сама предложно-падежная форма в первозданном виде, при этом изобрести контекст здесь - задачка со звездочкой. Но допустим, мы в спортзале, в положении лежа у шведской стенки. Команда тренера: "Тянемся к верху ногами!".

Выражение "кверх ногами" - диалектизм (псковский). В переводе на литературный язык означает "умереть".

Стоит еще вспомнить фразеологизм "вверх ногами", где "вверх" такое же наречие, что и "кверху", такого же происхождения. Разница лишь в том, что оно, как мне кажется, больше употребляется для обозначения направления движения (куда?), в то время как "кверху" указывает преимущественно на место или образ действия (где? как?). Но грань довольно тонкая.