Как правильно писать «чашка чая» или «чашка чаю»?

Существительное Чай относится к мужскому роду и второму склонению. В словосочетании Чашка Чая, существительное Чашка стоит в именительном падеже, а вот к существительному Чай можно задать вопрос Чего? Чашка Чего? - Чая. То есть существительное Чай в этом словосочетании стоит в родительном падеже. Как же склоняется это существительное?

Чай-Чая-Чаю-Чай-Чаем-Чае.

Следовательно верно это словосочетание писать как Чашка Чая.

Однако, не будем совсем отвергать и вариант Чашка чаю. Почему? Оказывается иногда, если речь идет о части чего-то целого, то в русском языке используется альтернативное окончание родительного падежа -Ю. Раньше такой вариант называли Разделительным падежом. В нем как раз уместно сказать Чашка Чаю.

Две предложенные Вами формы родительного падежа равноправны, до определённой степени. Разницу между ними попробую проследить ниже:

Чашка чая.

Это академический родительный падеж, позволяющий сохранить полную стилистическую нейтральность фразы. Данную форму можно использовать в текстах любой стилистики, и это не станет ошибкой.

Чашка чаю.

Такой (весьма приближенный к разговорному) родительный падеж тоже нужен языку, для привнесения в письменную или устную речь следующих лексических компонентов:

1. Привкуса к "чашке чая" разговорности. Например: "Васька, да дай же ты мне чашку чаю допить, бродяга!".
2. Обозначения того, что мы говорим о части. Например: "У тебя же полный самовар чая, выпей ещё одну чашку чаю".
3. Для усиления разговорного отрицания. Например: "Ни чаю нету, ни соку нема".

В соответствии с нормами русского языка, правильнее сказать "чашка чая" (родительный падеж, вопросы "кого? чего?"). Если сказать "чашка чаю", получается, что мы даем чашку самому чаю (кому? чему? - дательный падеж). Это не правильно.