Как правильно написать?

Я думаю, что с маленькой. Это не название НИИ, а только привязка к столице. Вы же не станете писать про жителей столицы - Москвичи. Вы напишите просто москвичи. А вот авто одноименное назовете "Москвич". Так же и про солдата. Это общепринятое понятие, но не имя собственное.

Хотя, может быть лингвисты поправят.

С большой в русском языке пишутся имена собственные. В данном случае следует разобраться является ли словосочетание "неизвестного солдата" именем собственным.

Имя собственное - существительное, обозначающее слово или словосочетание, предназначенное для называния конкретного, вполне определённого предмета или явления, выделяющее этот предмет или явление из ряда однотипных предметов или явлений.

А именно:

Имена людей (личное имя, отчество, фамилия, прозвище, псевдоним, криптоним (скрываемое имя)

Имена богов и животных, названия народов

Географические названия

Другие названия (название телепередач, книг и т.п.)

"останки неизвестного солдата" не является именем собственным, по определению, следовательно пишем с маленьких букв

Что касается второго случае, аналогично слово "московских" не имя собственное, так как не является существительным, пишется с маленькой буквы!

Я не исключаю вариант написания предложения "Гроб с останками Неизвестного Солдата", в случае если бы автор писал собственную книгу, и в дань уважения выделил эти слова, написав их с Заглавной буквы, но в школе учат правилам русского языка, поэтому нужно писать грамотно!

В данном случае оба слова пишутся с маленькой буквы. А вот в Варшаве есть могила-памятник, который называется Могила Неизвестного Солдата, здесь эти слова пишутся с большой буквы, наверно знание об этом памятнике вас запутало и привело к тому, что вы решили и в первом случае писать с большой буквы, хотя по правилам, надо с маленькой.