Как правильно написать слово «сыщешь» или «сыщеш» , «сыщишь», «сыщиш»?

Я бы написала "сыщешь" (по аналогии с "отыщешь" или "разыщешь", например). Потому что думаю, что эта форма представляет собою единственное число второго лица глагола "сыскать". Это будущее время. Настоящего нет и быть не может. Но это не принципиально в данном эпизоде.

В таких случаях после шипящих (и после шипящей "ш" - в частности) всегда пишется мягкий знак. Его функция - исключительно грамматическая. Он для того, чтобы выделить эту форму и отличить от других. Он ничего не смягчает и ничего не разделяет.

А "-е-" перед "-шь" пишется потому, что глагол "сыскать", судя по инфинитиву, относится к первому спряжению. Других вариантов быть не должно.

Давайте сперва разберем более простой случай, инфинитив Искать, который относится к первому спряжению и спрягается так: Ты ищешь, Он Ищет, Я ищу. Личное окончание этого глагола содержит гласную Е, как глагола первого спряжения. На окончании формы второго лица и единственного числа мы пишем мягкий знак, поскольку это оговорено правилами использования смягчающего мягкого знака.

Теперь вернемся к глаголу Сыскать, который также будет глаголом первого спряжения, но уже совершенного вида, и за исключением приставки пишется также как глагол Искать. Получается, что и нужная нам форма будет отличаться только приставкой - СЫЩЕШЬ.