Как правильно: ловчее или ловче?

Оба слова ловче и ловчее представляют собой сравнительную (простую сравнительную) степень

от прилагательного ловкий или от наречия ловко, образованного от упомянутого прилагательного.

Просто это разные варианты слов с одним и тем же смысловым значением, но образованных посредством разных суффиксов.

ЛОВЧЕ относится к книжному, литературному варианту, а ЛОВЧЕЕ -- к разговорному, просторечному.

Вот пример из сказки Писахова "Артелью работал, один за стол садился":

То же самое можно сказать и о других парах простой формы сравнительной степени прилагательных, например: бойче, звонче, слаще -- это литературные формы, а бойчее, звончее, слаже -- просторечные.