Как правильно: кур, курей или куриц и почему?

А вот можно использовать любое из предложенных слов множественного числа и родительного падежа! Есть в русском языке конечно же существительное Курица, которое во множественном числе склоняется двумя вариантами. Либо как Курицы-Куриц-Курицам-Куриц-Курицами-Курицах. Форма родительного падежа - КУРИЦ и ее легко можно использовать.

Либо как Куры-Кур-Курам-Кур-Курами-Курах. В этом варианте склонения видим форму родительного падежа Кур, которая также может быть использована на законных основаниях.

И наконец слово Курей - это разговорный вариант родительного падежа слова Куры. Не совсем правильный, но народ его использует, а значит слово существует.

Помнить надо что есть в русском языке слова курица и кура, которые являются полными синонимами, а в прошлом было и слово Кур - петух.