Как правильно говорить: играть в бильярд или на бильярде?

И так, и так, будет правильно. Но выражение "на бильярде" давно устарело и используется очень редко, чаще всего только старшим поколением, да и в-основном только в Питере, как я недавно выяснил 🙂

Вообще слово бильярд может иметь два значения

1. Игра бильярд. В этом случае нужно говорить "играть В бильярд"
2. Бильярдный стол. В таком случае говорится "играть НА бильярде", то есть на бильярдном столе.

То есть, теоретически верно как одно, так и другое. Но на сегодняшний день 99% людей говорят "играть в бильярд" (подразумевая именно игру, как "играть в футбол, играть в баскетбол" итд), а более устаревшее "на бильярде" практически вышло из употребления.