Как пишется приставка «по» с наречиями?

Розенталь даёт общие правила написания наречий, не выделяя в отдельный пункт те, что имеют префикс (приставку) ПО-, и правила его справочника никак не ограничиваются условиями дефисного написания данного префикса, поэтому попытаюсь собрать всё, что есть в этом справочнике и чего в нём нет, в одном ответе.

1) Слитно префикс ПО- пишется с наречиями, образованными:

• из существительных пространственных с предлогом ПО: по?верху, по?низу, по?боку. Трудность здесь такая: наречия эти часто путают с омонимичными сочетаниями имён существительных с предлогом. Как правило, разграничить их нетрудно: в наречиях ударение падает на префикс, они относятся к глаголу-сказуемому и не имеют при себе слов, расширяющих представление о пространстве: По?верху лежал только что выпавший снег. Метель шла по?низу. В омонимичных же сочетаниях ударен корень знаменательного слова, предлог, являясь проклитикой, не имеет собственного ударения, а вот зависимые слова, рисующие пространство более подробно, при них есть: ПО ВЕ?РХУ КРЫШИ проложен желобок. ПО НИ?ЗУ ЮБКИ пришита оборка;
• из существительных с предлогом, когда нельзя между ними вставить определяемое прилагательное или местоимение с тем, чтобы не изменился смысл: понево?ле, позаре?з;
• от устаревших форм именных, которые в языке современном уже не находят употребления: поо?даль (от о?даль), пополу?дни (от полу?дни), понаслы?шке (от наслы?шка), повечеру? (от вечеру?) и др.;
• от наречий, не имеющих степеней сравнения: повсю?ду, поку?да;
• от наречий в простой сравнительной степени: поме?ньше, погро?мче, повы?ше, пора?достнее, поспоко?йнее, поглу?бже и пр.;
• от прилагательных кратких на -У (раньше подобные прилагательные склонялись, отсюда и конечная У, которая в наречиях превращается в суффикс): подо?лгу, по?просту, по?пусту;
• от местоимений, не являющихся притяжательными: поэ?тому (от этот), посему? (от сей). По-вся?кому (от вся?кий), а также просторечное, но довольно распространённое нынче по-любому (от любой) – исключения.

2) Через дефис приставка ПО- пишется в наречиях, образованных от имён прилагательных или притяжательных местоимений способом префиксально-суффиксальным – с помощью префикса ПО- и суффикса:

• -ОМУ-, -ЕМУ-: по-но?вому мыслить, по-пре?жнему надеяться, по-мо?ему решил;
• -И-: по-францу?зски говорить, по-латы?ни читать, по-дру?жески помочь, по-во?лчьи жаден, по-сво?йски.

Розенталь, излагая этот пункт, обращает внимание не на суффиксы, а на концовку наречий с приставкой ПО-, пишущейся через дефис:

В иных же школьных учебниках упомянут несуществующий суффикс -СКИ- (это 2 суффикса: -СК-, оставшийся от прилагательного, и -И-, образовавший собственно наречие).

3) А ещё есть сочетания наречные – нечто остановившееся на пути перехода из существительных с предлогом в наречия, оставшееся где-то посерединочке между этими классами слов. Как правило, таковые сочетания не в прямом значении употребляются, а в переносном, входя в состав фразеологизмов; относятся они, как и наречия, к глаголу-сказуемому и могут заменяться синонимичными наречиями. ПО в таких наречных сочетаниях пишется раздельно: ходить по струнке (струночке), жить по старинке, дел было по горло, по уши увяз в проблемах; приобрела по дешёвке, поговорили по душам и др.