Как лучше и чем отмыть стальную эмалированную ванну от темного налета?

Не совсем ясно, о чём же речь. Вначале Вы говорите что "образовался темный, похоже, известковый налет.", а позже "темные пятна остаются".

Если речь идёт именно о "налёте", т.е. о том, что "насело" на поверхности ванны, и в принципе, может быть "отскоблено", то скорее всего это соли, в основном соли жёсткости, а также кальциевые соли кислот, входящих в состав мыла (или других моющих средств). Чаще всего они белого (грязно-белого) или желтоватого цвета, но их никак нельзя назвать "тёмными пятнами". Если это так, то их можно удалить протирая их тряпочкой или губкой, смоченной раствором лимонной кислоты (можно и уксусом, но вряд ли это доставит Вам удовольствие). Лимонная кислота будет растворять этот налёт постепенно, поэтому обрабатывать придётся длительно. При работе с растворами кислоты лучше работать в резиновых перчатках (на Ваше усмотрение. Лично у меня кожа на руках "дубовая", и не боится кислот).

Если же тёмные пятна - действительно тёмные (чёрные, бурые), то это может быть вызвано тем, что слой эмали был очень тонкий (и пористый). Через него некоторые вещества проникали до металла и вызвали его коррозию. Первичный продукт коррозии железа (стали) - чёрного цвета. Поскольку слой эмали истёрся и стал очень тонким, то продукты коррозии "просвечивают" через неё. В этом случае очистить ничем нельзя. Остаётся либо заменить ванну, либо реставрировать. Существует много способов реставрации, интернет полон такой рекламой, но я в этом деле не разбираюсь, и от конкретных советов воздержусь.