«Эти летние дожи». Почему А. Пугачева поет не дожди, а дожи?

Думаю, что дожи здесь ни при чём. Дожи — это главы Республики Венеция в период с VIII по XVIII век (что-то вроде русских князей).

Не слышал данной песни Аллы Борисовны, но мне кажется, что она поёт "дожжи", в транскрипции [даж':и]. Звук "жж" — долгое мягкое Ж. Он может встречаться, во-первых, на месте удвоенного Ж, в словах типа вожжи, дрожжи. Во-вторых, он иногда появляется на месте сочетания ЗЖ, например, приезжий. Ну и, видимо, также в слове "дожди".

В учебнике русского языка автора Е. И. Литневской сказано, что в русском языке, несомненно, имеется 36 различных согласных звуков, но в речи отдельных людей их может быть на один звук больше, то есть тридцать семь. Дополнительный звук — это как раз то самое долгое мягкое Ж. Говорят, что чаще этот звук используют люди старшего поколения, это так называемая "старшая норма". Но я слышал это произношение и у пожилых людей, и у молодых. Те же носители русского языка, кто не использует долгое мягкое Ж, то есть носители "младшей нормы", применяют обычно долгое твёрдое Ж: [вожжы], [прий'эжжый], а слово "дожди" произносят с ЖД, то есть [дажд'и].