Являются ли однокоренными слова «триумф» и «триумвират»?

Нет. Это разные латинские производные от числительного "три". Триумф - это буквально "три шага". Это очистительная церемония, когда войска, в знак очищения после победы проводили под воротами (под аркой). Впоследствии смысл был утерян. И Россиия до сих пор страдает от своей победы, сама не понимая этого.

А триумвират - это тройка. Минимальное число судей для производства суда. Их число должно было быть нечетным. Чтобы они вообще могли прийти к решению.