Являются ли однокоренными слова «соло» и «соловей»?

Нет, это слова разного происхождения, и корни у них разные (солов-, сол-)

Соловей – это слово исконно русское (др-рус. соловии, славии), характерное также и для других славянских языков, распространённое и в собственных именах (напр., Соловей, Соловьёв, богатырь Соловей Будимирович, Соловей-разбойник и др.).

А вот слово соло итальянского происхождения (< итал. solo один) и обозначает музыкальное произведение для одного голоса, одного инструмента, либо (в балете) танец в одиночку и пр. Отсюда и слово «солист» - одиночный исполнитель.

Впрочем, иногда соловья тоже иногда образно называют «пернатый солист», «пернатый артист», наряду с другими синонимами – соловейко, соловейчик, соловеюшко, соловушка и др.