Являются ли однокоренными слова «прима» и «примат»?

Да, являются. При том, что оба слова - латинского происхождения, хотя значения разные. Корень один - prim.

Прима - происходит от латинского prima - первая. Примой называется:

1) первая ступень нотной гаммы или первый интервал в нотном звукоряде;

2) также первая струна струнно-смычкового инструмента;

3) балалайка в русском народном оркестре;

4) ведущая партия в хоре, оркестре, балете, танцевальном коллективе либо лицо, которое исполняет ведущую (первую, главную) партию).

Примат - от латинского primates, primatus - старшинство. Приматом называется:

1) отряд высокоорганизованных обезьян, полуобезьян или других подобных млекопитающих;

2) главенствующее положение, первенство, преобладающее значение (хотя в этом контексте слово "примат" используется крайне редко).