Имеет ли слово медицина отношение к меди?

Не имеет. Медь -- токсичный тяжелый металл, и питье из медной посуды, длительный контакт меди с кожей приводит к хроническому отравлению медью и поражению печени и ЦНС. Медь необходима для организма, но в чрезвычайно малых количествах, и ее недостаток является редким медицинским казусом, гораздо чаще случается наоборот, избыток, особенно в наше время. Происхождение слова "медь" довольно темное, а медицина -- от латинского medeor -- лечу. Медь по-латыни cuprum.

Ну, примерно такое же, как и к мёду. И к медведям. И к медунице (цветочек такой и имя девочки-коротышки из сказки Николая Носова про Незнайку и его друзей).

То есть, напрямую - никакого.

И к слову "медленно" - тоже, хоть и нередки, к сожалению, случаи, когда медицинская помощь едет к нуждающимся в ней слишком медленно.

Просто совпадения, конкретно в русском языке.