Есть ли грамматическая ошибка в известной скороговорке про грека и рака?

Никакой ошибки в скороговорке нет. В Вашем вопросе она записана с ошибкой. В четвёртой строке должно быть "Рак за руку Греку цап". Не знаю, кто такой Грека, предположим, что это уменьшительное имя от какого-нибудь Григориана. И почему же это должен быть женский род? Да, слово имеет формальные признаки женского рода, но мы ещё в начальных классах учим, что в русском языке существует небольшое количество одушевлённых существительных мужского рода с окончаниями -а, -я (папа, дядя, Вася, Федя, Гена и так далее), которые относятся к первому склонению, то есть к тому же, что и слова женского рода с окончаниями -а,-я. Но от того, что эти слова склоняются так же, как существительные женского рода, они свой род не меняют.

И в данном случае род мы определяем по форме согласованного с этим существительным прилагательного или окончанию глагола в прошедшем времени. Грека ехал, а не ехала, сунул, а не сунула.

Для устранения печальной ошибки в народном творчестве «грека цап» представим, что в первых трёх строчках Грека – это имя мужское собственное (кличка), а в последней строке национальность - грек по имени Грек.

Ехал Грека через реку,

Видит Грека: в реке рак.

Сунул Грека руку в реку,

Рак за руку грека цап!

В конце концов, скороговорка эта устная и записана может быть и так. Ни смысл, ни произношение от этого не изменятся, а ошибки не будет - народ будет доволен.

Грамматическая ошибка при обычных условиях была бы только определением рода у существительного "грека" - он то грек, а не грека, но так как это скороговорка, то такое вполне может быть.