Ельцин, Солженицын: как писать фамилии на -ЦЫН?

Правильно так, как в паспорте написано. Фамилии вообще не подчиняются правилам орфографии. В фамилиях и ЧЯ может быть написано с Я, например, Чарчян, и Кисилёв есть фамилия, хотя все мы знаем, что проверочное слово кисель, и Понамарёв, хотя должно быть Пономарёв, ну и так далее.

Так и в случае с фамилиями на -цын и -цин: есть Синицыны и Синицины, Лисицыны и Лисицины, и т.п. У предков того же Солженицына фамилия писалась и как Солженицин, и как Салженицын, и как Салжаницын, и даже Соложаницын.

Так что, как видите, раньше даже в одной семье фамилии могли записываться по-разному, потому что у многих никаких документов не было. Пришёл, например, крестьянин крестить ребёнка, поп его спрашивает, как фамилия, тот отвечает: "Лисицын", поп пишет "Лисицын". В следующий раз приходит тот же мужик, но поп другой и записал уже не "Лисицын", а "Лисицин".

Но после того, как всем в 20-е и 30-е годы выдали паспорта, фамилии стали такими, как написали в паспорте, и уже никаких разночтений быть не может. А "неправильные" фамилии типа того же Кисилёва или Понамарёва возникли потому, что некоторые паспортисты в то время сами только-только грамоте научились, вот и писали как бог на душу положит.