Что такое сбродливый кот? Почему именно сбродливый?

Сбродливый скорее всего это слово имеет корень сброд.

А само слово «Сброд» имеет древнерусские корни.

Если бы речь шла о человеке, то его можно было бы охарактеризовать как насмешник, человек, обладающий отменным чувством юмора, любитель розыгрышей.

А, если речь идет о коте то, скорее всего, этот кот проказник, шалун.

В псковских и тверских говорах слово «сбродливый» употреблялось в значении «ворчливый, сварливый».

Поэтому кот, который носит прозвище «сбродливый», скорее всего обладает непокладистым, упрямым характером.