Что ставится ранее: знак завершения предложения или кавычки?

Думаю, что если вспомнить правила русского языка и примеры предложений, то ответ сразу будет готов.

Конечно, предложение может считаться "завершенным" только тогда, когда закончите свою мысль. То есть, это может быть вопросительное предложение или восклицательное, оформленное соответствующим знаком. Может быть повествовательное предложение - и тогда ставится точка. А если в предложении есть какой-то намек, недосказанность, то ставится многоточие.

Речь в вопросе идет, вероятно, о прямой речи, которую нужно брать в кавычки

Примеры предложений:

• Бабушка спросила: "Шурка, ты что, серьезно это сказала?". Кавычки ставятся после знака "вопрос".
• "Я безумно счастлива сегодня!" - не скрывала своей радости мама. Кавычки ставятся после восклицательного знака.
• Директор школы предупредил: "Еще много сложностей ждет вас, ребята, впереди...". Кавычки ставятся после многоточия.

Как мы видим из этих примеров, кавычки являются завершающим "моментом" при написании.

**

• Борька подумал: "Они мне не верят, придется доказывать, что я прав". А вот в этом примере точка ставится после кавычек!

Восклицательный и вопросительный знаки, а также многоточие ставятся до кавычек:

Мама сказала: "Какая хорошая погода!"

Мама спросила: "Какая сегодня будет похода?"

Мама сказала: "Морозная погода сегодня..."

Точка после кавычек при этом не ставится.

Если завершает предложение одна точка, ее ставят после кавычек:

Мама сказала: "Завтра будет холодно".

Более сложные случаи сочетания знаков можно проверить здесь:

http://www.rosental-book.ru/punct_xxxiv.html#sect135

Смотря что оканчивает этот знак. Если это знак вопроса или восклицания в цитируемой фразе, то кавычки ставятся последними. Если знак ставится в конце большого предложения, в составе которого имеется выделенная кавычками цитата, которая одновременно и оканчивает это предложение, то знак завершения предложения ставится после кавычек цитаты, заканчивая собою все предложение а не только цитату.

Возможны оба варианта. Надо смотреть, какое предложение или словосочетание стоит в кавычках. Если там стоит вопросительное или восклицательное предложение, то соответствующий знак принадлежит тексту в кавычках, соответственно, сначала ставится этот знак, а потом уже закрываются кавычки. Пример: "Ты не заболел?" - спросила озабоченно бабушка.

Но если знак относится не к тексту в кавычках, а ко всему предложению в целом, то сначала ставим кавычки, а потом уже и знак. Пример: От всей души поздравляем победителя конкурса "Лучший по профессии"!