Что общего у слов, входящих в приведенные ниже пары? Как это доказать?

В каждой паре можно найти общую морфему - корень слова, ведь приведенные в парах слова оказываются однокоренными.

Как это доказать? Другими однокоренными словами, либо лексическим смыслом, который точно у этих слов общий.

Ветвь-Ветвиться-Веточка-Ветла-Ветка. Ветвь - это большая ветка дерева.

Ветхий-Ветхость-Ветошь. Ветхий - старый, разваливающийся, ветошь - старые рваные тряпки.

Жизнь-Жить-Живой-Живость-Животное. Я мыслю - следовательно я живая и у меня одна жизнь.

Клятва-Проклятие-Заклятие-Клясть. Клятва - обещание что-то сделать, прокляну - обещание сделать что-то нехорошее.

Однако, есть в этих словах и одна общая закономерность справедливая для всех пар сразу.

Часто в этих словах корни выделяют разные. Например выделяют корень ВЕТВЬ и ВЕТ, корни ВЕТОШЬ и ВЕТХ, корни ЖИВ и ЖИ, корни КЛЯТ и КЛЯ. Но лексический смысл для этих разных по написанию корней один и тот же.

Впрочем, во многих словарях данного расхождения нет и корни в этих словах действительно совпадают.