Что объединяет слова «пират» и «огонь»?

Вы ошибаетесь, слово "пират" происходит от греческого "пирос" (огонь), поскольку самые первые морские разбойники предпочитали не нападать на суда в море, а гасить огни маяков и вместо них зажигать ложные, направляя корабли на скалы, а потом оставалось разграбить груз и продать уцелевших матросов в рабство.

Абсолютно ничего. Если Вы предлагаете принять первые три буквы имени существительного "пират" за корень и сопоставить его со словом "пироман" или "пиротехник", то это будет явной этимологической и словообразовательной ошибкой, поскольку давайте тогда сложим в эту же большую кучу и "пир", и "пирог", и "пирожное", и пируэт", и что же у нас с Вами получится?

Пират прибыл на пир, съел пирожное, сделал пируэт и стал пироманом. Смешно, но бессвязно. Пират ничего не поджигает. Вода мешает.)

У слов "пират" и "огонь" есть несколько общих черт. Например, то, что оба слова мужского рода, они состоят из пяти букв, в каждом из них по два слога. В каждом слове по две гласные буквы. Оба слова имеют ударение на втором слоге.