Черствый и сухой — это синонимы? В каких контекстах (хлеб, человек и т.д.)?

Не сказал бы я, что сухой и черствый - это синонимы. Сухим может быть любой немокрый предмет. Черствый - это скорее сухой и твердый. Вспоминается КБ Сухого, конструирующее самолеты. Не такой уж черствый тот самолетик - который "Сушка", причем, как гражданский, так и боевой. В общем, сухой - это одна из характеристик черствого, не более. Синонимами эти слова не являются.

"Высохший после купания мальчик пошел домой" VS "Черствый после купания мальчик пошел домой"

Хлеб, кстати, тоже может быть сухой (бородинский, например), в смысле содержания влаги, исходя из рецептуры приготовления теста, температурного режима при выпекании и пр., а не в смысле высохший от времени и зачерствевший.