Чем в люфтваффе занимались специальные экадрильи в составе обычных эскадр?

Ну тут нет однозначного ответа. Любую эскадрилью, что не была участницей непосредственно боевых действий, можно считать специальной. Скорее всего к ним можно отнести подразделения выполняющие следующие функции:

1. Подготовка летного состава. Как ни крути, а потери на фронте дело обычное. Выпускники простых летных школ по сути не готовы в бою, и могут быть убиты в первом же сражении более опытным противником. Одни из специальных подразделений люфтваффе, занимались подготовкой молодого пополнения в условиях приближенным к боевым. Такая необходимость возникла в 1943 году, когда люфтваффе стали повсеместно терять господство в воздухе из за боевых потерь личного состава и техники.
2. Планерные эскадрильи. В люфтваффе, в отличии от стран союзников, большое внимание уделялось планерам. Считалось, что это дешевый способ доставить много груза в желаемую точку малыми затратами. Планеры были дешевые. Строились, как правило из дерева и перкали. В связи с отсутствием в люфтваффе больших транспортных самолетов ( да и вообще отсутствие таковых в то время ), идея выглядела перспективной. В то же время был построен самый большой в мире планер, messerschmitt - me321:
3. Разведывательная авиация. Подчинялась напрямую командованию стратегической разведки. В нее входили специальные самолеты для аэрофотосъемки, такие как высотный разведчик Фокке-Вульф 189, более известный в СССР под прозвищем "рама", в силу необычной компоновки:
4. Так же к специальным можно отнести подразделения люфтваффе, которые занимались испытанием и оценкой тактико-технических характеристик трофейных образцов вооружения и самолетов.

В люфтваффе, в годы Второй Мировой войны в состав обычных военно-воздушных подразделений входили спецэскадрилии. В состав этих эскадрилий отбирались лучшие летчики. Дело в отличии тактики ведения воздушнего боя. Немцы очень любили использовать тактику "воздушной охоты". Этим как раз и занимались спецэскадрилии.

В ходе свободного поиска они находили "жертву", быстро атаковали её и так же быстро уходили, если возникала угроза длительного боя с численно превосходящим противником.