Законно ли визирование договора директорами и замами без присвоения номера?

Не вижу проблем. Вам прислали договор для подписания. Т.е. Вы получили два договора, каждый в двух экземплярах. Если это не проект, то договора уже подписаны ВУЗом.

Осталось дело за малом. В следующем порядке:

Если Ваше предприятие устраивают все условия договора, то предприятие рассмотрит и подпишет два этих договора в двух экземплярах.

Далее тот, кто занимается договорами на предприятии, бухгалтерия, юристы, кадровая служба или кто ещё, в чьи обязанности это входит ставит номер договора, например Договор № 1 и Договор № 2 и дату.

Далее он же пишет сопроводительное письмо и с этим сопроводительным письмом возвращаете по одному экземпляру этих договоров ВУЗу. И всё. Таким образом у Вас на руках два договора с номерами.

Если в условиях договора есть какие-то несогласованные моменты существенные, то в рабочем порядке созваниваетесь с ВУЗом и они просто переделывают и вновь Вам направляют два договора, каждый минимум в двух экземплярах или как писал выше, подписываете те договора, которые ранее были направлены Вам, ставите нужные Вам номера, но к ним прикладываете протокол разногласий, который будет неотъемлемой частью договора.

Таким образом Вам не нужно ничего "выбивать", просто соблюдайте порядок заключения договоров. Проблема не стоит даже повода переживать и заморачиваться, потому что не является проблемой.