В каких случаях говорят «квадрат», а в каких «квадрант»?

Не "квандрант", а "квадрант" (quadro - четыре) = одна часть деления многоугольника/окружности/прямоугольника (напр. карты) на четыре части. КваНдрант, простите, не говорят никогда.

Квадрат же является лишь геометрической фигурой со всеми равными сторонами и углами в месте их пересечений равным девяносто градусов. Таким образом, квадрат можно рассматривать как конкретный (частный) пример квадранта - при соблюдении общих условий (одна четвертая, стороны равны, углы пересечений прямые).