У моего двоюродного брата родилась внучка. Кем она мне приходится?

Вообще говоря, двоюродные внуки – это внуки РОДНЫХ братьев и сестер. Также их иногда называют «внучатыми племянниками» (в предыдущем ответе, по всей видимости, имелось в виду именно это), но это название, во-первых, неофициально (в гражданском законодательстве, например, используется исключительно термин «двоюродные внуки»), а во-вторых, гораздо менее логично: все же понятие «двоюродный дед/двоюродная бабушка» логичнее соотносить именно с «двоюродными внуками».

В литературе сочетание «двоюродный внук» также было употребительно с давних времен («При императрице Елизавете Петровне, не обращавшей никакого внимания на образование своего двоюродного внука, обучение его началось довольно странным способом» – Е. П. Карнович, «Мальтийские рыцари в России», 1878; «На первых порах ее двоюродный внук был, казалось, ее единственным утешением: она холила и нежила его и по целым дням забавлялась ребенком» – Н. Э. Гейнце, «Коронованный рыцарь», 1898).

А внуки ДВОЮРОДНЫХ братьев и сестер будут, соответственно, троюродными внуками (или, если придерживаться менее логичной терминологии, «двоюродными внучатыми племянниками»).

Троюродная племянница – это дочь троюродного брата или троюродной сестры (здесь как раз все логично: дети родных братьев или сестер – это родные племянники, дети двоюродных братьев/двоюродных сестер – двоюродные племянники, и т. д.).