Слова интернат и интернет, можно считать синонимами или омонимами?

Это два разных слова, они не синонимы и не омонимы. Часть "интер-" в них одинакова, так как это от латинского internus - внутренний. У слова интернат завершение -ат - обычное окончание предметов и помещений (помещение где внутри постоянно живут), у слова интернет, завершение -нет - это английское слово "сеть" (дословно "внутренняя сеть" - от изначального назначения этой сети).