Полина, Аполлинария, Пелагея — это все одно и то же имя? Или разные?

Нет, это разные имена и у них разные значения. Родственными являются только имена Полина и Аполлинария, поскольку Полина - сокращенная разговорная форма от Апполинария, ставшая самостоятельным именем. Аполлинария с греческого означает "принадлежающая Аполлону". Соответственно, у имени Полина то же значение.

Пелагея - это совсем другое имя. Его ближайшим "родственником" является имя Марина, так как у них одно и то же значение - "морская". Разница в произношении объясняется происхождением имен. Пелагея - имя греческое, а Марина - латинское.