Почему в Российской армии нельзя честь отдавать без головного убора?

Сам жест - прикладываение руки к головному убору - восходит к обычаю снимать шлем в знак уважения, доверия к тому, кого вы таким образом приветствуете. Говорить с кем-то не снимая шлема - значит демонстрировать, что вы его опасаетесь и ему не доверяете. Собсно, и обычай снимать головной убор при разговоре с кем-то, при входе в помещение и т. п. - оттуда же. Ну и понятно, что если шлема (головного убора) УЖЕ НЕТ - то ничего не надо снимать, и жест теряет смысл.

Disclaimer: в армии США отдание чести (ну или воинское приветствие, если угодно) имеет другую "этимологию", хотя тоже связанную со шлемом: поднятое забрало. То есть их жест - прикладываени ладони к голове, а не к головному убору, - символизирует открытие лица. Поэтому там это приветствие выполняется независимо от того, надет головной убор или нет.