Почему получить выход к Средиземному морю была мечта всех царей?

Причины были разные.

Сначала, в течение большей части средневековья, мотивацией было объединение под российским контролем всех православных государств Балканского полуострова и возврат Стамбула в состояние Константинополя.

Позднее причины стали более рациональными. Прежде всего, получение выгодного торгового пути, доступ к незамерзающим морям. Плюс - выход в Средиземноморье и для военного флота тоже. Именно эта причина была основной во всех войнах с Турцией, вёдшихся в восемнадцатом, девятнадцатом веках.