Почему по усопшим отмечается именно три дня, девять дней и сорок?

Христианство богато ритуалами...

В данном случае забота о душе усопшего:

3: до 3 дня душа находится рядом с родными и не уходит из комнаты с телом;

9: по этот день душе показывают загробный мир (не знаю кто именно занят этими экскурсиями), а с 9 дня душа идет по мытарствам, где познает все свои грехи - т. е. 9-й день - переходный;

40: в этот день оканчиваются мытарства и душа снова возносится Ангелами на поклонение Богу для определения места в ожидании Страшного Суда по земным делам, духовному состоянию и по благодати молитв Церкви и близких.