Почему планета Земля вертится вокруг своей оси и вокруг Солнца?

По инерции. Для обоих движений.

Инерция есть фундаментальное свойство любого тела (как и вообще материи). Если тело привелив движение и "отпустили", то оно это состояние движения сохраняет сколь угодно долго. Причём движение может быть как поступательное, так и вращательное. Шайба, пущенная по льду, так по нему и скользит, пока не въедет в борт (трение шайбы о лёд очень низкое). Закрученный гироскоп или маховик продолжает крутиться, опять же пока его не остановят силы трения.

А если сил трения нет, если вращение происходит в безвоздушном пространстве - то тело так и будет вращаться. Вот какой момент количества движения оно приобрело в самом начале, при формировании планеты или протопланетного облака, - такой он и пребудет вовеки. Единственным механизмом "трения", которое может остановить вращение вокруг собственной оси, является приливное трение. Оно уже сумело затормозить Луну, да и сама Земля постепенно тормозиться (примерно на 4 мкс за столетие), - но это именно трение. Не будь у Земли спутника - её вращение не тормозилось бы.

С вращением вокруг Солнца то же самое: по инерции. Сила притяжения способна изменить направление движения тела (как и всякая сила). А коль скоро эта сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, то тело может двигаться по устойчивой замкнутой орбите (эллипсу). Инерция в этом случае проявляется как раз в том, что сила не может изменить скорость мгновенно. Она способна лишь сообщать телу некоторое ускорение. До некоторой степени даже такую систему (Солнце и планета) тоже можно рассматривать как волчок, просто не жёсткий, а связанный. Поскольку потерь энергии нет (в классическом приближении), то инерция проявляется в полный рост: движение не останавливается.