Почему Папа Римский выбирает новое имя, а Российский Патриарх — нет?

Не российский (и почему с большой буквы-то?), а Святейший Патриарх Московский и всея Руси, такой у него титул. У Папы титул ещё длиннее, вообще-то. Суть в том, что ассоциировать РПЦ и её предстоятеля с Россией неправильно.

Традиция смены имени новоизбранным Папой не является обязанностью. Началась она в VI веке с избрания Папой римлянина по имени Меркурий, который решил, что негоже духовному вождю христиан править, нося имя языческого бога. Поэтому он и сменил имя при восшествии на Престол. И спустя три сотни лет уже большинство Пап меняло имена.

Обычно имя Папы Римского берётся в честь кого-то из предшественников, что может символизировать желание продолжить его политику в том или ином аспекте. Так сформировались традиционные папские имена:

Но и взять имя в честь близкого человека не воспрещается:

Как и не менять имя вовсе.

У наших же Патриархов мирское имя обязательно меняется ещё при постриге в монашество (так, к примеру, Владимир Михайлович Гундяев стал священником Кириллом), и дополнительная смена имени уже не требуется. Следует заметить, что монашеское имя может совпадать с мирским, как у Алексея Михайловича Ридигера, который был пострижен с именем Алексий и впоследствии стал Алексием II.