Почему кота впускают в новую квартиру, а не собаку, или коня?

Пускать в новый дом первой кошку -- довольно древняя традиция.

Почему не собаку -- хотя бы потому, что собака ранее всегда жила за пределами самого дома, во дворе, в будке, и у нее была своя функция -- охрана ворот, входа.

Коня впустить можно не в каждое жилище, да и у коня тоже свои были функции -- это средство передвижения, например.

А кошка всегда была именно настоящим домашним животным и охраняла именно дом и амбар от мышей, потому и дом нередко начинался с заведения кошки.

Чувствительность кошки (кота) к непонятным для человека вещам часто являлось причиной считать это животное немного мистическим, имеющим контакты с потусторонними силами, духами, домовыми. Мол, кошка первой в новый дом зайдет, со всеми злыми и не очень силами договориться, место наилучшее выберет, там и ляжет. А где ляжет, там и кровать ставь.

Есть и другие трактовки данной традиции