Почему герой Капитанской дочки называл себя недорослем», вспоминая детство?

А. С. Пушкин не просто употребил слово "недоросль", он уточнил, в каком смысле его следует понимать:

Автор прямо ссылается на сатирическую комедию Д. И. Фонвизина с таким же названием - "Недоросль". Её главный персонаж - юноша Митрофан - ничему не учится и не желает, демонстрируя невероятное невежество. Это видно из эпизода, в котором герой сдаёт экзамен

После постановки пьесы имя Митрофанушка приобрело черты нарицательного слова, так стали называть подростков ленивых либо сильно обойдённых образованием, см. здесь.

А. С. Пушкин проводит параллель между недорослем Фонвизина и Петром Гринёвым:

• иностранных языков не знал, а ведь в то время французский был обязателен в дворянской среде;
• к 12 годам научился (под руководством крепостного Савельича) русской грамоте;
• разбирался в борзых собаках;
• карту попыался использовать как материал для воздушного змея;
• целый день болтался на улице, ничему не учась, пока его "педагог" пьянствовал.

Величайшая разница между Гринёвым и Митрофаном состоит в личных качествах. Пётр был простодушным малограмотным человеком, не знавшим жизни и не разбиравшимся в людях, но он не был порочным, знал, что такое честь офицера и верность присяге. Однако всё это выяснится лишь в будущих главах "Капитанской дочки".