Почему домашние животные со временем становятся похожими на своих хозяев?

во первых не всегда, а во-вторых не обязательно со временем, иногда сразу.

Каждый человек подсознательно считает себя самым-самым (т.е. даже если мы мозгом понимаем, что и тут не совсем и в этом не хорошо, внутри мы все равно САМЫЕ! для себя). И когда человек выбирает себе питомца он тоже выбирает самого (не мозгом, подсознанием). Вот и получается похожесть.

Плюс одинаковый режим дни, рацион, окружение...

Потому что живя под одной крышей продолжительное время, даже с другим человеком, необязательно животным. Неосознанно начинаешь повторять его повадки и привычки, а он в свою очередь перенимает Ваши. В заимствуются черты характера.