Одинаковая ли обувь для ходьбы и для бега?

Конечно, разная.

Каждый шаг при беге - ударная нагрузка на суставы: колени, тазобедренный и позвоночник. Нередки травмы суставов, причём с длительным лечением.

Поэтому для бега нужны специальные беговые кроссовки, а не городские, желательно от проверенных производителей.

Летние кроссовки нужны с хорошей амортизацией.

В зимних кроссовках амортизации может быть меньше.

Рекомендую рассмотреть следующих производителей: Asics, Mizuno, Brooks, New balance, Saucony, Nike, Kalenji и другие. Чем больше бегаете, тем тщательнее должен быть выбор кроссовок. На начальных порах можно выбирать модели проще. По цене они примерно 3-4 тыс. рублей. Пусть проще, но беговые, а не обычные городские кроссовки для ходьбы.