Обязательна регистрация по месту жительства?

Нет, так как вы ведь живете в одном государстве и если бы все прописывались там где жили, то это бы взорвало паспортный стол. К тому же кто и что вам может что предъявить, ведь сегодня вы живете, а завтра уже съехали, при том всегда есть такое понятие как быть в гостях, и если вас кто то за что то будет подтягивать, то вы просто можете покинуть то место где прибывали.

Для государства важна ваша прописка, для того что бы вас реально идентифицировать вас и к примеру оплатить зарплату врачу из бюджета к которому вы будете ходить. Если будете обращаться не по своему участку, то тогда уже по любому нужно будет платить.

Прописывайтесь в той квартире где вы хотите реализовать свое конституционное право на проживание, ибо прописка это его /конституционного права/ форма.