«ничем» или «ни чем»: как писать правильно?

В русской орфографии и синтаксисе существуют оба варианта слов, предложенных для анализа:

ничем и ни чем.

Отрицательное местоимение "ничто" может употребляться в предложении в форме творительного падежа.

Я вам ничем не обязан.

Не обязан чем? ничем.

В таком случае, как и начальная форма "ничто", эта словоформа пишется слитно с приставкой ни-, как и другие такие же отрицательные местоимения и их формы:

никто - никем, никого, никому;

ничто - ничего, ничему, ничем.

Единственный случай раздельного написания, когда между ни и местоимением внедряется предлог и, образно говоря, рассталкивает их своими локтями:

ни с чем, ни о чём, ни у кого, ни о ком, ни с кем.

Иное дело, если в тексте имеется повторяющийся сочинительный союз ни... ни, который пишется со всеми словами раздельно, в том числе и с местоимением "что" в форме творительного падежа, например:

Нам неизвестно, ни где он пропадал все эти дни, ни чем он занимался, ни кто дал ему крышу над головой.

Все зависит от контекста. Если имеется ввиду полное отрицание, например "я сейчас ничем не занимаюсь" то тогда пишется слитно, т.к. это будет наречие. Но может писаться и раздельно, если подразумевается перечисление, например: ни этим, ни чем-либо другим нельзя пользоваться во время экзамена