Найти направление, в котором в т. М0(1;4) возрастает максимально?

Функция в точке максимально возрастает вдоль своего градиента. Задача сводится к нахождению градиента данной функции в данной точке. Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы.

Сначала находим частные производные функции по икс и по игрек. Затем записываем общий вид градиента для этой функции. Затем находим градиент в точке М. Затем находим модуль градиента в точке М.

Направляющие косинусы - соответствующие частные производные, деленные на модуль градиента. таким образом находим cosA cosB. Это и есть ответ. Можно записать в виде вектора с координатами cosA, cosB. Видно, что сумма их квадратов равна 1.