Можно задавать профессиональные вопросы врачу, находящемуся среди гостей?

Мне кажется что подобное недопустимо. В первую очередь по отношению к хозяевам дома. Они позвали Вас всех на свой праздник, а Вы устроили вместо этого врачебный кабинет. Ну а по отношению к доктору... если Вы сантехник, и придя в гости все за стол, а Вы чинить унитаз. Вам бы это понравилось?

Максимум, можно воспользоваться таким знакомством, попросив у доктора визитку, чтоб обратиться к нему позже в рабочее время.

Я такое не приемлю. Ведь все люди, которые приходят в гости в первую очередь хотят отдохнуть и расслабиться, а не вдоваться в подробности своей профессиональной сферы. Такое поведение, как минимум выглядит не культурно, прилично, и вообще, не эстетично.

Когда я была молодая - в нашей компании был врач, но я не помню чтобы кто то у него консультировался по поводу своих болезней сидя за столом. Может быть такое случается с некоторыми врачами, думаю что это не очень им приятно. А вот всякие интересные или забавные случаи из практики врачи часто гостям рассказывают.