Можно ли выписаться из квартиры, не выезжая в регион по прописке?

Можно. Например, вы прописаны в городе Н-ск, а сейчас проживаете в городе ХХХ. Когда в городе ХХХ вы придете вставать на постоянный учет(по-простому прописываться), то напишете там заявление о том, чтобы вас сняли по вашему предыдущему месту прописки. Они это сделают. Но если вы придете в городе ХХХ прописываться временно (т.е. сделать себе временную регистрацию), то в паспортном столе они не смогут вас выписать в городе Н-ск. Нужно будет ехать в Н-ск, там сниматься с учета (выписываться), а только потом делать временную регистрацию в ХХХ. Проверено на себе.