Можно ездить с водительскими правами на мотоцикле?

Нет конечно. Хоть на самолет у вас права есть, но если нет водительских прав категории "А", то и управлять транспортным средством категории "А" или сейчас есть еще и "А1" вы не имеете права. А - с 18 лет, объем двигателя более 125 кб. см.; А1 - с 16 лет, объем двигателя до 125 кб. см.

Нет. Для того и введены категории. Возможно, нынешнее разнообразие и избыточно, но между управлением мотоциклом и авто есть принципиальные различия, которые нужно постигать на практике, и "левая" категория тут не поможет. И от гаишников не защитит.

В водительском удостоверении должна быть открыта определенная категория. С категорией "В" нельзя управлять мотоциклом. К тому же теперь ввели и отдельные категории на скутер

При сдаче экзаменов на право управления автомобилем и мотоциклом одновременно, правила сдаются один раз, а вождение отдельно для мотоцикла и отдельно для автомобиля. Так как умение управлять автомобилем не гарантирует умения управлять мотоциклом, и наоборот. А вот скутером вы можете пользоваться с правами мотоциклиста, здесь логика тоже простая: если не упал с мотоцикла, то и со скутера не должен вроде бы.